Dado el campo vectorial {\overrightarrow{F}=x^{2}\overrightarrow{i}+2yz\overrightarrow{j}+y^{2}\overrightarrow{k},}
a) Hallar, si existe, la función potencial.
b) Calcular el flujo a través de la superficie cerrada S formada por las superficies {x=1, y=1, z=1, x^{2}+y^{2}=z^{2}, x=0, y=0, z=0.}
Se utiliza como lupa una lente de distancia focal 6 cm con la imagen en el infinito: primero por una persona cuyo punto próximo está a 25 cm, y luego por otra cuyo punto próximo está a 40 cm.
a) ¿Cuál es la potencia de aumento la lupa para cada una de las dos personas?
b) Comparar el tamaño de la imagen en la retina cuando cada una de ellas mira al mismo objeto con la lupa.
Un hipermétrope necesita leer la pantalla de un ordenador situada a 45 cm de sus ojos. Su punto próximo está a 85 cm. Calcular:
a) Distancia focal de las lentes que necesita para ver con nitidez la pantalla a esa distancia, esto es, que produzcan una imagen de la pantalla a 85 cm. de su ojo.
b) Potencia de la lente.
Definamos el sólido V (ver dibujo) limitado en el primer octante por la superficie cerrada S que forman las superficies S_{1}≡y^2+z^2=9, S_{2}≡x=\frac{y}{3}, S_{3}≡x=0 y S_{4}≡z=0. Consideremos el vector {\overrightarrow{F}(x,y,z)=y\overrightarrow{i}+2x\overrightarrow{j}+2z\overrightarrow{k}}.
a) Calcular el volumen de V.
b) Calcular el flujo total que sale a través de la superficie S debido al vector {\overrightarrow{F}.}
c) Calcular el flujo del vector {\overrightarrow{F}} que sale a través de cada una de las caras que forman la superficie S (Sugerencia: obtener el flujo que sale a través de S_{1} en último lugar).
d) Calcular la circulación del vector {\overrightarrow{F}} a lo largo de la curva cerrada C frontera de la porción de S_{1} que forma parte de S.
Dado el vector {\overrightarrow{F}(x,y)=(sin x + arctan y)\overrightarrow{i}+ (arctan y-2xy+\frac{x}{1+y^2})\overrightarrow{j}} , calcular su circulación a lo largo de la curva cerrada C que se muestra en el dibujo, formada por los trozos {\frac{x^2}{a^2}}+{\frac{y^2}{b^2}}=1 e y=0.
Discutir en función del parámetro a el siguiente sistema de ecuaciones lineales. Resolverlo en los casos en los que sea compatible indeterminado.
\begin {cases}x+ay+a^2z+a^3t=0 \\ ax+a^2y+a^3z+t=0 \\ a^2x+a^3y+z+at=0 \\ a^3x+y+az+a^2t=0 \end {cases}
Un vehículo de 1.000 kg entra en una curva que forma un peralte de 20° con el plano horizontal. Sabiendo que la curva tiene un radio de 80 m. y que el coeficiente de rozamiento entre el suelo y las ruedas es 0,5, calcula la máxima velocidad que puede llevar el vehículo para que no se salga de la curva. Calcula nuevamente la máxima velocidad para los siguientes casos: a) que no exista peralte; b) que no exista rozamiento.
(Nota: g=10 m/s^2)
¿Con qué velocidad tiene que girar el aparato de la imagen para que la cuerda atada en el extremo, de la que cuelga la masa m, forme un ángulo de 30° permanentemente? Calcula asimismo la tensión de la cuerda.
El vector de posición de una partícula respecto de la esquina de una mesa que se está moviendo es: {\overrightarrow{r'}=3t^2 \overrightarrow{i}+2t^2 \overrightarrow{j}. } La mesa inicialmente está en reposo, estando la esquina de la mesa en el punto (2,3) respecto del sistema fijo que es la habitación, y comienza a moverse con una aceleración constante de 1 m/s^2 , en la dirección y sentido tanto del eje X como del X’. Calcula los vectores de posición y de velocidad de la partícula respecto del sistema fijo.
La puerta de la imagen gira alrededor del eje OZ con un velocidad angular de 30 vueltas por minuto. Sobre la puerta se mueve una mosca describiendo una trayectoria circula de 10 cm de radio, siendo su velocidad 5\pi cm/s. Calcula la aceleración de la mosca en el lugar indicado en la imagen.
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