Dado el sólido V≡\begin{cases} x^{2}+y^{2}⩽1 \\ 0⩽y⩽x \sqrt{3} \\ 0⩽z⩽2-x^{2}-y^{2} \end {cases}
a) Calcular el volumen de V.
b) Calcular el área de la porción de la superficie {z=2-x^{2}-y^{2}} que forma parte de la frontera de V.
c) Calcular el flujo del vector {\overrightarrow{F}(x,y,z)=(y,-x,2z)} que sale a través de la porción de la superficie
{z=2-x^{2}-y^{2}} que forma parte de la frontera de V.
Dada la función f(x,y)=\begin{cases}x^{2}+y^{2} & ∀(x,y)/x⩾0 \\ \sqrt{x^{2}+y^{2}} & ∀(x,y)/x<0 \end {cases} calcula {f'_{x}} y {f'_{y}} en el punto (0,0).
Sea C la curva cerrada y lisa a trozos que definen en el primer octante las curvas C_1≡ \begin{cases} x^{2}+y^{2}=1\\z=0 \end{cases}, C_2≡ \begin{cases} z=1-y\\x=0 \end{cases} y C_3≡\begin{cases}z=1-x^{2}\\y=0 \end{cases} . Sea S la superficie orientable lisa que delimita C, definida por S≡z=z(x,y) ∀(x,y)∈R_{xy}≡\begin{cases} x^2+y^{2}⩽1\\x⩾0\\y⩾0 \end {cases} . Se considera la función vectorial \overrightarrow{F}(x,y,z)=(x^2y,z·cos y+x^{3},sin y) .
a) Calcular el rotacional y la divergencia de la función vectorial {\overrightarrow{F}} .
b) Calcular la circulación de la función vectorial {\overrightarrow{F}}a lo largo de C. Justificar los resultados.
Calcular el gradiente de la función {f(x,y)=\int^{1}_{\frac{1}{x}}Ln(tx)dt+\int^{1-y}_{0}Ln(t+y)dt} en el punto (2,e).
Estudiar el carácter de la serie \sum^∞_{n=1} ((\frac{n+1}{n})^n-\frac{2n}{n+1})^{-n}
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